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TPE_607_Archimède
3 décembre 2010

I) Approximation du nombre Pi a)

 

 

a) Explication de la méthode d'Archimède

La méthode de base pour trouver la valeur de π consiste à construire deux polygones réguliers ayant le même nombre de côtés, en traçant le premier à l'intérieur du cercle : un polygones inscrit et l'autre étant tracé autour du même cercle : un polygone exinscrit.

Le fait de diviser les périmètres des 2 polygones par le diamètre du cercle permet d'obtenir un encadrement de la valeur du nombre π, qui devient plus précis en augmentant le nombre de côtés de polygones. Avec  des hexagones (polygone à 6 côtés), on détermine une valeur de π comprise entre 3 et 3,47.

Au bout de de la 5ème étape, il obtient un polygone régulier à 96 côtés,il montre sa formule d'approximation de Pi :

Image_5

Le nombre π, c'est la circonférence d'un cercle.

Figures obtenues sur java 

 

Image_1 

Image_3 

 

 

 

Image_5                           

 Image_6 

 

 

 

Image_7

  Image_8 

Détail de la méthode :

Image_6=périmètre du polygone/diamètre du cercle vu que le polygone va tendre à devenir un cercle on aura la formule du périmètre d'un cercle suivante : périmètre du cercle 6a1659aee94e06cad0c35efac54903b1

On a la formule : Image_33

 

Pour obtenir les périmètre des polygones ,on trace les médiatrices de tous les côtés de la figure  qui se coupent en le centre du cercle, on peut calculer les demi côtés de chaque polygone avec ces formules :

L'angle Image_38 correspond à l'angle du sommet de chaque triangle ayant pour sommet le centre du cercle, on peut le calculer car dans un cercle dont l'angle correspondant est 360°, on a n triangles pour n côtés, ces triangles sont divisés en 2, on a donc 2 fois plus de triangles donc 2 fois plus de sommets, pour avoir la valeur de cet angle il suffit de diviser 360 par 2n ce qui revient à 180 par n.

Image_51

Image_25

Image_26

Donc pour avoir le périmètre d'un polygone il suffit de multiplier chaque longueur d'un demi-côté par 2 par le nombre de côtés du polygone.

En considérant n le nombre de côtés des polygones et le rayon du cercle égal à 1 :

Image_7 => périmètre du polygone inscrit Image_8 => périmètre du polygone exinscrit

Image_12

Image_21

 

Par exemple : prenons la 2ème étape avec des hexagones :

 

Figure tracée sur GeoGebra :

Image_42

L'angle Image_38vaut 30° car (30=180/6) et le rayon R vaut 1.

Image_45   Image_46

 

 

 

Voici, les calculs d'encadrement de Pi pour les étapes 1,2,3 et 6.

Pour la première étape, en considérant un cercle de rayon 1, on a des triangles inscrits et exinscrits :

triangle

=>Image_37

=> 2,598 ≤ Image_6 ≤  5,196

Pour la deuxième étape, le cercle de rayon 1 est encadré par des hexagones :

hexagone

=> Image_36

=> 3 ≤ Image_6 ≤  3,464

Pour la troisième étape, le cercle de rayon est encadré par des polygones réguliers à 12 côtés (ou dodécagones) :

12_c_t_s

=> Image_30

=> 3,106 ≤ Image_6 ≤ 3,215

Archimède a déterminé l'approximation du nombre Pi avec un encadrement du cercle par des polygones réguliers à 96 côtés donc, si l'on applique la formule pour trouver l'encadrement de Pi, on trouve :

=> Image_32

=> 3,141 ≤ Image_6 ≤ 3,143 

Ce qui équivaut à l'approximation suivante :

Image_5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Commentaires
L
Bonjour, et donc combien de chiffre du nombre pi cet encadrement 3 ≤ pi ≤ 3,464, permet-il de connaitre?<br /> <br /> <br /> <br /> Merci pour vos reponses
TPE_607_Archimède
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