II) La spirale d'Archimède c)

c) Utilisation :

*Définition de la quadrature :
En calcul intégral, c’est une opération consistant à déterminer l'aire comprise à l'intérieur d'une courbe fermée.

Elle a été introduite par Archimède pour réussir la quadrature du cercle*, c'est-à-dire la construction d'un segment dont la longueur est égale à la circonférence du cercle.
Prenons en effet le point sur la courbe de coordonnée polaire t=3pi/2 (le point A du dessin précédent).
Traçons la tangente à la spirale en ce point, et notons H le point d'intersection avec l'axe des abscisses.
Alors Archimède démontre que la longueur AH vaut exactement la circonférence du cercle OA.

Cependant, cela ne fait que déplacer le problème : comment construire la tangente à une courbe?
Il faudra attendre au moins le XVIIè siècle, et Newton et Leibniz, pour que l'on sache bien aborder cette question!

Aujourd'hui, la spirale d'Archimède a énormément d'applications réelles :

_Les compresseurs de rouleaux (également appelés compresseurs en spirale) sont faits à partir de deux palettes en forme de spirales d'Archimède de la même taille, ils  sont employé pour comprimer des liquides et des gaz.

_Dans une montre à ressorts compensateurs les ressorts sont en forme de spirale d'Archimède.

_Les cannelures sur les disques phonographes forment une spirale d'Archimède, pour maximiser la quantité de musique qui pourrait être adaptée sur le disque( ceci a été changé plus tard pour obtenir une meilleure qualité de son).

_Demander un patient pour dessiner une spirale d'Archimède est une manière de mesurer le tremblement humain; cette information est utile pour  diagnostiquer les maladies neurologiques.

_Des spirales d'Archimède sont également employées dans les DPL (Digital Light Processing) : traitement numérique de la lumière (TPL), des composants utilisés dans les rétroprojecteurs; ce sont systèmes de projection pour réduire au minimum le « effet d'arc-en-ciel », qui permettent d'obtenir à la vision des couleurs multiples en même temps quand en réalité rouge, verts, et bleu sont extrêmement rapides faits un cycle.

_ L'intersection de la spirale avec une droite passant par le centre décrit un mouvement uniforme (ceci sert à transformer un mouvement circulaire en mouvement rectiligne, par exemple pour le remplissage régulier d'une bobine de fil ou les anciennes machines à coudre.